Carrière musicale

Naïma publie chaque semaine une nouvelle chanson sur les réseaux sociaux. Le nombre d’écoutes quotidiennes (en moyenne) est modélisé par la fonction suivante : \(E(t)=−10 (t-2)\times(t-10)\) où :

• \(t\) est le nombre de semaines écoulées depuis la sortie de sa première chanson ;
• \(E(t)\) est le nombre d’écoutes par jour, en moyenne.

Cette modélisation est valable pour les 10 premières semaines, c’est-à-dire pour \(t∈[0;10]\).

Naïma espère signer un contrat avec un label si elle dépasse 150 écoutes par jour sur les 10 premières semaines.

Problématique : Naïma a-t-elle une chance d’être repérée par un label ?

S'approprier 

1. Que représente la fonction \(E\) ? À quoi correspond la variable \(t\) ?

Réaliser - Communiquer

2. Calculer \(E(3)\) et interpréter le résultat en fonction du contexte.

Analyser - Raisonner

3. En partant de l'expression \(E(t)=−10(t-2)\times(t-10)\) montrer que \(E(t) = -10t^2+120t-200\).

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \(f(x) = -10x^2+120x-200\) définie sur l'intervalle \([0;10]\) et modélisant le nombre d'écoutes par jour en fonction du nombre de semaines écoulées.

Résolution graphique du problème

Réaliser

4. À l’aide d’un outil numérique (GeoGebra ou calculatrice NumWorks), tracer la courbe de \(f(x) = -10x^2+120x-200\) sur l’intervalle \([0;10]\).

5. Tracer la droite d'équation \(y = 150\).

Appeler l'enseignant pour faire vérifier le tracé du graphique et de la droite.

Valider

6. Déterminer graphiquement ou à l’aide de la calculatrice les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)>150\).

Communiquer

7. Interpréter le résultat dans le contexte : pendant combien de semaines Naïma dépasse-t-elle les 150 écoutes par jour ?

Résolution algébrique du problème

Réaliser

8. Calculer \(f'(x)\) la dérivée de la fonction \(f\).

9. Résoudre l'équation \(f'(x) = 0\).

10. Dresser les tableaux de signes et de variations de la fonction \(f\).

Valider - Communiquer

11. En déduire le nombre d'écoutes maximal par jour.

Communiquer

12. Répondre à la problématique.